Производная

Производной функции(в точке) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю,если этот предел существует и конечен: lim (f(x0+Δx)- f(x0))/( Δx),где Δx → 0.Обозначение f'(x0) -производная функции f(x) в точке x0.Процесс вычисления производной называется дифференцированием.

Функция F(x) называется первообразной функции f(x),если F'(x)=f(x);


Производные элементарных функций

Производные элементарных функций

Правила дифференцирования функций

Правила дифференцирования

Дифференцирование сложной функции: (u(v))'=u'(v)*v'.
 
Пример:
Найти производную функции:exx+sin(2x).
1)По правилу дифференцирования суммы (exx+sin(2x))' =(exx)'+(sin(2x))'
2)Рассмотрим первое слагаемое.По правилу дифференцирования произведения (exx)'=(ex)'x+exx'= (используя таблицу производных)exx+ ex
3)Рассмотрим второе слагаемое.Перед нами сложная функция(так как аргумент синуса не x,а 2x).Значит,ее производная равна: (sin(2x))'=sin'(2x)*(2x)'=cos(2x)*2=2cos(2x)
4)Из пунктов 2 и 3 получаем окончательный ответ:exx+ ex+2cos(2x).


Геометрический смысл производной


Геометрический смысл производной заключается в том,что производная функции в данной точке численно равна тангенсу угла ,образованного касательной, проведенной через эту точку к данной функции, и положительным направлением оси Ох.


Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых x1, x2 из этого интервала,где x2>x1 выполняется неравенство f(x2)>f(x1).



Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых x1, x2 из этого интервала,где x2>x1 выполняется неравенство f(x1)>f(x2).



Геометрический смысл производной На рисунке к функции f(x) в точке A проведена касательная. Производная функции f(x) в этой точке численно равна тангенсу угла α.



Геометрический смысл производной Рассмотрим касательную, проведенную через точку A.Она параллельна оси OX.Значит,угол между касательной и осью OX равен нулю и,следовательно,тангенс этого угла равен 0.Поэтому,согласно геометрическому определению , производная в этой точке равна нулю.

Рассмотрим на касательную,проведенную через точку B. Угол,который она образует с осью OX больше 90 градусов,но меньше 180(так как отсчет ведется в положительном направлении оси OX).Значит,тангенс этого угла отрицательный.То есть значение производной в точке B меньше нуля.

И наконец,касательная,проведенная через точку C. Угол,образуемый ею и осью OX меньше 90 градусов,следовательно,его тангенс положительный. А это означает ,что и производная в этой точке больше нуля.

Таким образом мы можем сделать следующие выводы:
1)В точках,расположенных на промежутке возрастания функции, производная положительна.

2)В точках,расположенных на промежутке убывания функции, производная отрицательна.

3)

Критические точки – это внутренние точки области определения функции в которых производная не существует или равна нулю.


Экстремум — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума.


Локальный максимум (минимум) – это наибольшее (соответственно наименьшее) значение функции в некоторой достаточно малой окрестности рассматриваемой точки. То есть точки локального максимума(минимума)- точки экстремума в достаточно малой окрестности заданной точки.


Необходимое условие, чтобы точка была точкой экстремума: эта точка должна быть критической.


Достаточное условие экстремума

Если производная f'(x) при переходе слева направо через точку меняет знак c плюса на минус, то это- точка локального максимума.

Если производная f'(x) при переходе слева направо через точку меняет знак с минуса на плюс, то это – точка локального минимума.

Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке xо экстремума нет.



Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке:

1. Находим область определения функции.

2. Находим производную функции.

3. Находим критические точки.

4. Определяем знаки производной между критическими точками.

5.Находим точки экстремума функции. В точке локального максимума функции производная меняет знак с "+" на "-". В точке локального минимума функции производная меняет знак с "-" на "+".

6. Сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках локального максимума, и выбираем из них наибольшее.Тем самым находим точку максимума на отрезке.

Сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках локального минимума, и выбираем из них наименьшее. Тем самым находим точку минимума на отрезке.

Примеры заданий ЕГЭ по теме производная:

1.Найти наименьшее значение функции:y=e2x-14ex+5 на отрезке [-1;2].
Решение: Вычислим производную данной функции: y'=2e2x-14ex.Вычислим,в каких точках данная производная обращается в ноль:2e2x-14ex=0 ex(2ex-14)=0.
То есть либо ex=0(что невозможно), либо 2ex-14=0.
ex=7
x=ln7
Вычислим значения функции на концах промежутка и в найденной точке.
y(-1)=1/e2-14/e+5
y(2)=e4-14e2+5
y(ln7)=e2ln7-14eln7+5=-44-данное значение является наименьшим.
Ответ:-44

2.Определить наибольшее значение функции y=x3+6x2+19 на промежутке [-6;-2].
Решение:Вычислим производную функции и найдем точки,в которых она обращается в ноль: y'=3x2+12x=0
3x(x+4)=0
x=0 или x=-4
При переходе через x=-4 функция меняет знак с + на -,значит, x=-4-точка локального максимума.
Вычислим значения функции в данной точке и на концах промежутка.
y(-4)=51
y(-6)=19
y(-2)=35
Следовательно,максимальное значение функции y(-4)=51.
Ответ:51

←Предыдущая статья Следующая статья →