Тригонометрия


Основные понятия:

Прямоугольный треугольник Рассмотим прямоугольный треугольник ABC.AС,BC-катеты,АВ-гипотенуза.Найдем основные тригонометричские функции угла ABC.

Синус ∠ABC=AC/AB;

Косинус ∠ABC=BC/AB;

Тангенс ∠ABC=AC/BC;

Котангенс ∠ABC=BC/AC;



Синусом (sin) угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе


Косинусом (cos) угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе


Тангенсом (tg) угла называется отношение противолежащего катета к прилежащему


Котангенсом (ctg) угла называется отношение прилежащего катета к противолежащему



Тригонометрический круг:ось синусов,косинусов,тангенсов,котангенсов


Ось котангенсов,синусов,косинусов,тангенсов,Для решения тригонометрических уравнений и неравенств применяется так называемая тригонометрическая окружность. Раccмотрим окружность единичного радиуса ,расположенную на осях координат.Отложим от положительного направления оси OX угол α против часовой стрелки. x1- x-координата точки A будет являться косинусом данного угла,а y1-y-координата-синусом.
Ось тангенсов параллельна оси синусов (имеет тоже направление, что ось синусов) и проходит через точку (1; 0). Значение тангенса угла α равно t.
Ось котангенсов параллельна оси косинусов (имеет тоже направление, что ось косинусов) и проходит через точку (0; 1). Значение котангенса угла α равно c.
Связь градусов и радиан
Помимо градусов для измерения углов также используются радианы.2π радиан соответствуют 360 градусам.

Знаки тригонометрических функций в координатных четвертях
sinα cosα tgαctgα
++++
+---
--++
-+--



Четность:

sin(-α)=-sinα;
tg(-α)=-tgα;
ctg(-α)=-ctgα;
То есть функции sinα,cosα,tgα являются нечетными.

cos(-α)=cosα; То есть функция cosα является четной.

Основные тригонометрические тождества:

Основные тригонометрические тождества

Формулы приведения:

Формулы приведения

Функции суммы и разности двух углов:

Формулы суммы и разности двух углов

Формулы кратных углов:

Формулы кратных углов

Произведение тригонометрических функций:

Произведение тригонометрических функций

Сумма и разность тригонометрических функций:

Сумма и разность тригонометрических функций

Обратные тригонометрические функции:

ФункцияОписаниеОбласть определенияОбласть значений
Arcsin x Значение угла,выраженное в радианах ,синус которого равен x [-1;1][-π/2;π/2]
Arccos x Значение угла,выраженное в радианах ,косинус которого равен x[-1;1][0;π]
Arctg x Значение угла,выраженное в радианах ,тангенс которого равен x(-∞;+∞)(-π/2;π/2)
Arcctg x Значение угла,выраженное в радианах, котангенс которого равен x(-∞;+∞)(0;π)

Примеры заданий ЕГЭ по теме тригонометрия:

1.Найти значение выражения:-42tg(34°)*tg(56°)+6
Решение: По формуле приведения tg(34°)= tg(90°-56°)=ctg(56°).
tg(56°)*ctg(56°)=1,значит, исходное выражение=-42+6=-36.
Ответ:-36.

2.а)Решить уравнение:4cos2x-8sinx+1=0
б)Найти его корни,принадлежащие промежутку [-3π;-3π/2]
Решение: a)4cos2x-8sinx+1=4(1-sin2x)-8sinx+1= -4sin2x-8sinx+5=0.
4sin2x+8sinx-5=0.
Решая данное уравнение, получаем:sinx=1/2 или sinx=-20/8 .Второй корень не подходит, так как |sinx|≤1.
Решая уравнения sinx=1/2,получаем x=π/6+2πk ∪ x=5π/6+2πk.Можно записать оба решения одной записью:x=(-1)kπ/6+πk
б)Заданному промежутку будет принадлежать корень -11π/6,получаемый при k=-2.
Ответ:а)x=(-1)kπ/6+πk б)-11π/6.

←Предыдущая статья Следующая статья →